Ферромагнетизм.

Модель Изинга.

Эта точно решаемая модель была предложена в 1925г. для описания одномерной цепочки атомов с квантованным моментом количества движения и, следовательно, квантованным магнитным моментом. Как известно, магнитный момент квантовой частицы может принимать только дискретные значения, кратные (магнетон для частицы со спином 1/2). В модели Изинга предполагается, что энергия взаимодействия между i и j атомами в решетке пропорциональна произведению проекций магнитных моментов : , которые для частиц с полуцелым спином могут принимать только два значения противоположного знака: , В этом случае применение метода Гиббса к ансамблю атомов, взаимодействующих с термостатом приводит к особенно простому выражению для энергии решетки в целом, и позволяет точно определить статсумму решетки, а вместе с ней и свободную энергию: . В этом выражении подразумевается, что первая сумма вычисляется по всем атомам в ансамбле, а вторая сумма по всем возможным конфигурациям каждого атома с его соседями. После этого легко вычисляется критическая температура (точка Кюри). Обобщения модели Изинга на двух и трехмерные решетки уже не столь просты. Однако, двумерная модель также допускает точное решение.Численное моделирование модели Изинга в двумерном случае позволяет использовать многопоточность технологии Java. В нижеприведенном Java-апплете рассчитывается динамика двумерной решетки, когда каждый атом в решетке взаимодействует лишь с четырьмя ближайшими соседями. Влияние термостата (тепловых колебаний решетки при температуре T ) учитывается при помощи генератора случайных чисел. Температура задается как визуально, путем нажатия указателем мыши по изображению термометра, так и таблично, путем ввода соответствующих численных значений температуры в соответствующее поле апплета (аналогично задается начальное распредение спинов в решетке, которое в любой момент может быть переустановлено). Апплет выводит также временную развертку средней энергии решетки и намагниченности, нормированных на единицу. Легко видеть, как при температуре, меньшей критической (т.е. ниже точки Кюри), намагниченность становится максимальной, а энергия стремится к минимальному значению. Заметим, что в данной программе внешнее магнитное поле равно нулю. Это приводит к тому, что каждое из двух возможных направлений спина ( синий квадратик - спин вверх, белый - спин вниз) равновероятно. Поэтому решетка намагничивается спонтанно: среднее значение намагниченности может быть как положительно, так и отрицательно, в зависимости от начальных условий и случайных реализаций поля температур в термостате, которое постоянно "расшатывает" спины, не давая им всем окончательно выстроиться в одном направлении даже в том случае, когда температура существенно ниже критической Tk. Text and applet below belongs to Bernd Nottelman nottelm@uni-muenster.de You can control the temperature either by typing a (positive) real number into the temperature field or by adjusting the thermometer by mouse. To set the critical temperature TCrit=2/ln(1+sqrt2) of the 2 dimensional Ising model (which is connected with a phase transition on the infinite lattice) click on the corresponding symbol. Every little box of the spin field represents one of the two possible states Si=-1, 1 (white/blue). The Hamiltonian is calculated by the formula H=Sum<i,j>SiSj where <i,j> symbolizes all pairs of next neighbours on the lattice. The magnetization is simply the mean of all spins.